Stanišić sinh ngày 2 tháng 4 năm 2000 ở München, Đức. Cha mẹ anh là người Croatia. Cha anh tên là Damir và đến từ Malino trong khi mẹ anh là Sandra đến từ Oriovac.

Gia đình anh đến từ vùng nông thôn cách Slavonski Brod ở miền đông Croatia vài km về phía tây. Ông nội của Josip đã nhập cư ở Đức từ đó và ông đã có mối liên hệ với bóng đá mặc dù bản thân mình không thi đấu trực tiếp, nhưng ông là cựu trọng tài nghiệp dư ở Đức trong nhiều năm. Cha của Josip, Damir, được coi là một cầu thủ bóng đá tài năng và đã hoàn thành một buổi tập thử tại FC Bayern Munich khi còn là một thiếu niên, nhưng không được nhận vào đội. Cuối cùng, Damir đã không tham gia bóng đá chuyên nghiệp mà thay vào đó trở thành một thợ sửa xe. Mẹ của Josip, Sandra, là nhân viên bán hàng và anh ngoài ra cũng có một em gái.[25]